[世界文化之谜]六十进位制是如何创造的？

黄秀芳

六十进位制是如何创造的？
公元前4000年存在于美索不达米亚即两河流域的文明，通常称之为苏美尔文明。从历史遗存分析，苏美尔人的文化是发达的。他们的金字塔形如神塔，装饰着精美的几何图案，金属冶炼术凝聚着复杂的浇铸与合金知识，灌溉业融进了他们的先进工程技术，他们的楔形文字，是用尖笔在泥板上压成符号，烧制而成，并且有可能比埃及的象形文字更早。
苏美尔人在数学运用方面非常突出。更值得称道的是，在尚存的公元前3000年前期的一大批泥板符号中，发现约有2000多个单独的符号。它们当中的一组反映了较发达的计数制，因而有人据之推断，苏美尔人创造了如下的符号制：（1）一个单位数，由一支圆柱形尖笔以一定角度压在粘土中制成的一个楔形符号代表；（2）十个单位数，由小圆筒垂直地压进粘土中形成一个圆形的符号而来；（3）六十个单位数，以一个大圆筒压成的楔形符号；（4）3600或60×60单位数，由更大的圆筒垂直压进粘土制成的圆形符号来表示。这些符号组合起来既代表中间数目，又表示较大数目。这种单位制使用10和60两个数作为基础，具有一定的精密性，为区分这种单位制与今天所使用的进位值制，可做一类比。在这个基本的单位制内，11代表1加1，或者是2；而不是10加上1，或者十一，这个早于罗马的单位制与罗马的计数方法之间存在着一定的相似之处，虽然罗马的数字Ⅱ和Ⅰ分别是2和1的专用符号。这样Ⅱ就不是表达1加1的简写方式了。
约公元前2250年，苏美尔文字的大量单独符号被减化到几百个。计数制在保留原始的混合制基础上，发展得更加精密。
有关苏美尔的计数资料得自于两个相差1000多年、即公元前2000年前的古巴比伦与公元前1000年后期的塞罗斯德时期的泥板文书：
在汉漠拉比统治后的巴比伦，美索不达米亚文明中的数学得到充分发展。这时，已可能运用现代方法解决不同的代数方程式、包括带真根的二次方程式；运用后来所称的毕达哥拉斯定理，又使得精确计算正方形的对角线的长度有了可能。一个新的利用位置进位值制的计算系统就此被创造出来，在此系统中，一个数字的价值不仅存在于它的字面所代表的数，而且依赖于它与其它数字相关的位置。
古巴比伦时代保留了基于数字60的六十进位制，与现代的基于数字10的十进位制形成对照。从1～59的数字用原始的十进位制写出来，这些就被作为六十进位制的数字运用。因此，数字1的符号可以表示1，60，3600或1/60；任何一个数字，其大小反映着60的倍数值，这与使用现代的十进位制是同一道理，如7能代表7/100，，7/10，7，70或700。这个方法使计算简化，因为所有数字的乘法和加法被缩减到从1到59的数字的加法和乘法；同样，十进位制使用1?9的数字。而电子计算机运用2进位制，只需两个基本数字。
值得注意的是，这个数字体制在古巴比伦时代只用于计算，没有其他明显的用途。而且古代人没有符号表示零的概念，除了偶而在两个数字之间有一个这种意义的空间，这一缺陷在塞罗斯德时期得到了弥补。约在公元前300年，两个短的倾斜的楔形符号被用来表示在一个给定的空间内的空缺数字，零的符号第一次出现，并代表一个位数，这样就能区分以前无法区别的象21，201，2001等数字了。尽管如此，零的符号从没有用于数字的开头或结尾，像现代数字所区分的那样，比方说02，2和20。
六十进位制的完善应归功于后来的希腊人的智慧。古代希腊天文学家托勒密第一个介绍和使用苏美尔人的六十进位制、并用于运算之中。六十进位制以它完善的形式逐渐被广泛应用于天文学领域。
令人不可思议的是，从古巴比伦时代到塞罗斯德时期的1500年间，数学本身没有大的进步。一般认为，能够熟练运用某一发明的往往未必是它的创造者，尤其是古代。那么苏美尔人是受了何种文明的启迪而接受了它的成果呢？是不是独自创造了这一套计数体系？如果是创造，又是什么样的需要和动机，促使他们能够有此发明，是运用了什么样的现有逻辑，怎样创造的呢？泥板文书还未提供解释，有待于考古学家为我们揭示。
（王艳芬）
莱布尼茨发明二进制与《周易》有关吗？
莱布尼茨（GOttfriedWilkelmLeibniz，1644?1716年）德国自然科学家、数学家、唯心主义哲学家。出身于大学教授家庭。早年曾就读于莱比锡大学，担任过外交官、宫廷顾问、图书馆馆长等职务，是柏林科学院的第一任院长。曾旅居法、英、荷等国，与当时欧洲著名科学家和哲学家如惠更斯、牛顿、霍布斯、斯宾诺莎等都有交往，同牛顿并称为微积分的创造人。他改进了帕斯卡的加法器，设计并制造了一种手摇的演算机，提出了他认为是和中国“先天八卦”相吻合的二进制，影响到后代计算技术的发展。在逻辑学上，最先提出充足理由律，并用数学方法研究有关的逻辑问题，是数理逻辑的先驱。在哲学上，早年曾受笛卡尔、霍布斯、斯宾诺莎等人的影响，倾向于机械唯物主义，后建立自己客观唯心主义体系的单子论。认为世界上一切事物都是单子所构成，各种单子具有不同程度的“知觉”。最低级的单子只有一种“微知觉”，即模糊昏暗的“知觉”，如无生命的东西；高级的单子则具有“反省的知觉。”一切事物根据单子高低的不同，形成一个连续发展的系列，表现为从低级向高级的过度，而系列的顶点，最高级的单子，就是上帝；其他单子都是由上帝创造和支配，上帝预先安排整个世界各种单子和谐协调，他称之为前定和谐。在认识论上，反对洛克的经验论，认为认识不是来自外界事物，而是先验的，是心灵自身所固有的潜在观念的显现。把真理分为必然真理和偶然真理。其唯心主义体系中含有一些辩证法因素，马克思主义经典作家对此曾加以肯定，如列宁说：“莱布尼茨通过神学而接近了物质和运动的不可分割的（并且是普遍的、绝对的）联系的原则”（《列宁全集》第38卷第427页）。莱布尼茨的主要著作有《人类理智新论》、《神正论》。《单子论》等。关于莱布尼茨发明二进制与《周易》有关与否，至今仍众说纷坛，主要有以下几种观点：一种认为《周易》中含有二进制数学思想，最近推行一种二进位Baee2数学。以二进位法厘定64个六爻卦的方法，因每卦由六条线组成，把0代表??（阴），1代表??（阳），从而算出每卦的次序。持这种观点的人认为，《易经》为西方科学家所认识，便是由莱布尼茨开始的。《中国科学技术史》的作者、英国剑桥大学的李约瑟曾经对莱布尼茨的生平作了深入的研究，认定二进制数学的起源应追溯到八卦，追溯到《易经》。李约瑟说莱布尼茨的创造是受到了东方这些古老图书的启示而完成的。传说菜布尼茨年轻的时候，游历巴黎，在那里发明了对数表，顿觉自负，恰好一个曾经到过中国传教的教士带了一轴名为《伏羲六十四卦方位图》，以拉丁文翻译的画卷送给他。莱布尼茨对此非常感兴趣，披阅之余，经常对它苦思冥想，终于有一天豁然天朗，想到建立二进制，并把自己的数学发明弃置一旁，大赞东方人的智慧。他以二进位数学阐明六十四卦的奥义；八卦中??一两个符号及其排列方法，可以贯通等差级数，等比级数，二元式（二进位），二项式定理、逻辑数学以及音响、电磁波、连锁反应等原理。
另一种意见认为，17世纪末叶，莱布尼茨在与华传教士闵明我、白进等人的通信联系中知道了《周易》和八卦图。莱布尼茨将其与他在1666年发明的二进制法相比较后，惊异地发现两者之间的思想和数学表达方式有着惊人的共同之处，他做梦也不曾想到，他的得意发明会在3000年前的伏羲先天八卦图中早就有所表达。钦佩激动之余，莱布尼茨写信给当时的中国皇帝康熙，要求加入中国籍。不知由于中国方面的原因，还是德国的优厚知识分子政策，以致于使莱布尼茨改变了主意，这件事终于没能实现，要不，创立微积分的这一近代数学史上的理程碑可就树立在中国了。后来他还是在法兰克福创立了一所中国学院，直到二次大战才毁。
还有一种意见认为，莱布尼茨发明二进制与《周易》无关。这种观点认为，《周易》卦序与二进制数学丝毫没有关系，甚至宋代邵雍所创制的六十四卦方图和圆图，有学者指出，它“不能算二进制数学”，它们“只不过可以译成二进制数码，却并不蕴含二进制算法。”（董光壁《易图的数学结构》）；郭书春在1987年11月17日《科技日报》著文认为只要列出莱布尼茨发明二进制与其传教士白进的交往时间表，就可真相大白。1679年3月15日，莱布尼茨的《二进位数学》初稿脱稿，1696年，莱布尼茨重新关注二进制问题，设计了一枚二进制表为背面的纪念章图案送给奥古斯特大公。他还向赴中国的传教士介绍了二进制原理。1697年，莱布尼茨开始与在中国的法国传教士白进交往。1701年2月15日，莱布尼茨写信给白进，详细说明了二进制原理，白进收到信后才发现中国的六十四卦图与二进制有共同点。1701年11月4日，他从北京给菜布尼茨写了一封长信，转告他这个发现，1703年4月1日，莱布尼茨才收到这封信，他欣尉异常，并立即复信指出，白进将六十四卦图与自己的二进制联系在一起，使得中国人千年以来不可理解之谜得到了解答。4月7日，莱布尼茨决定将他修改补充的论文《关于仅用0与1两个记号的二进制算术的说明，并附其应用及据此解释古代中国伏羲图的探讨》再送巴黎科学院，要求公开发表。自此，二进制公之于众。然而，白进和莱布尼茨都没有搞清楚，他们所说的“伏羲六十四卦图”，即不是《周易》中，更不是伏羲创造的，而是北宋哲学家邵雍搞的。邵雍的排列，与二进制有共同点，但尚不能说是完整的二进制。
是耶，非耶？仍是一谜。
（王东明）