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[其他] 数学中的空间

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发表于 2014-4-2 16:26:27 | 显示全部楼层 |阅读模式

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物理空间概念的延伸和抽象。如欧几里得空间、双曲空间、黎曼空间、各种函数空间和拓扑空间等等。它们反映了人们对空间结构各种属性认识的发展。
最早的数学空间概念是欧几里得空间。它来源于对空间的直观,反映了空间的平直性、均匀性、各向同性、包容性、位置关系(距离)、三维性,乃至无穷延伸性、无限可分性、连续性等方面的初步认识。但在很长时期里,人们对空间的理解只局限于欧几里得几何学的范围,认为它与时间无关。19世纪20年代,非欧几何的出现突破了欧几里得空间是唯一数学空间的传统观念。非欧几里得几何的空间概念具有更高的抽象性,它与欧几里得空间统一成常曲率空间,而常曲率空间又是黎曼空间的特殊形式。19世纪中叶,G.F.B.黎曼还引进流形概念。这些概念不仅对物理空间的认识起了很大作用,而且也大大丰富了数学中的空间概念。
19世纪末20世纪初,人们给出了维数的拓扑定义,并对函数空间的度量性质进行深入研究,从而产生了一系列重要的数学空间概念,特别是一般的拓扑空间概念。20世纪30年代后,数学中的各种空间在数学结构的基础上得到统一处理,人们对各种数学空间获得较完善的认识,并随着对物理空间认识的深入以及数学研究的发展,从代数、几何、拓扑方面推广各种数学上的空间观念。在代数方面对空间概念的推广主要来源于解析几何的产生和发展。几何对象(点、线等)与数组结成对应关系,使人们可以对空间进行精确的定量描述。这样便容易把坐标三数组推广到坐标 n数组(向量),其所对应的空间即为 n维线性空间或向量空间。这种空间从维数上对欧几里得空间做了推广,但抽去了欧几里得空间中的距离概念。实数域上的线性空间通常可以推广到一般域上,特别是有限域上的线性空间成了只有有限多个点的空间,其空间的连续性也被舍弃了。从代数和几何方面,可以把空间推广成仿射空间和射影空间。射影空间可通过几何方法或坐标方法把无穷远点和无穷远线包括在内。另外,也可以通过数组、相空间、状态空间等等使各种空间成为物理学乃至其他科学处理运动的直观模型。
空间的更抽象形式是拓扑空间。由于拓扑结构反映点与点之间的亲疏远近关系,因而在拓扑空间中欧几里得空间的距离和向量空间的向量长度这些概念都被舍弃了。
人们对各种数学空间的研究,反映了人们从局部、粗浅的直观到更深刻地认识空间的各种属性的过程。例如,拓扑学的发展,使人们对空间的维数、连续性、开闭性、空间的有边和无边以及空间的定向都有了更深入、更本质的理解。流形的研究对于空间的有限与无限、局部与整体的认识也产生了飞跃。流形概念是空间概念的重要发展。它从局部上看是欧几里得空间,但从整体上看可以有各种形式。它可开可闭,可有边可无边。这种深刻的认识对于物理空间的研究有着推动作用。例如,闵可夫斯基空间是狭义相对论的数学模型,黎曼空间则成为广义相对论的数学模型(见相对论)。

——《中国大百科全书》 本词条作者:胡作玄
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